51. N-Queens #
题目 #
The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.
Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.
Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens’ placement, where 'Q' and '.' both indicate a queen and an empty space respectively.
Example:
Input: 4
Output: [
[".Q..", // Solution 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],
["..Q.", // Solution 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]
Explanation: There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle as shown above.
题目大意 #
给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。
解题思路 #
- 求解 n 皇后问题
- 利用 col 数组记录列信息，col 有
n列。用 dia1，dia2 记录从左下到右上的对角线，从左上到右下的对角线的信息，dia1 和 dia2 分别都有2*n-1个。 - dia1 对角线的规律是
i + j 是定值，例如[0,0]，为 0；[1,0]、[0,1] 为 1；[2,0]、[1,1]、[0,2] 为 2； - dia2 对角线的规律是
i - j 是定值，例如[0,7]，为 -7；[0,6]、[1,7] 为 -6；[0,5]、[1,6]、[2,7] 为 -5；为了使他们从 0 开始，i - j + n - 1 偏移到 0 开始，所以 dia2 的规律是i - j + n - 1 为定值。 - 还有一个位运算的方法，每行只能选一个位置放皇后，那么对每行遍历可能放皇后的位置。如何高效判断哪些点不能放皇后呢？这里的做法毕竟巧妙，把所有之前选过的点按照顺序存下来，然后根据之前选的点到当前行的距离，就可以快速判断是不是会有冲突。举个例子: 假如在 4 皇后问题中，如果第一二行已经选择了位置 [1, 3]，那么在第三行选择时，首先不能再选 1, 3 列了，而对于第三行， 1 距离长度为2，所以它会影响到 -1, 3 两个列。同理，3 在第二行，距离第三行为 1，所以 3 会影响到列 2, 4。由上面的结果，我们知道 -1, 4 超出边界了不用去管，别的不能选的点是 1, 2, 3，所以第三行就只能选 0。在代码实现中，可以在每次遍历前根据之前选择的情况生成一个 occupied 用来记录当前这一行，已经被选了的和由于之前皇后攻击范围所以不能选的位置，然后只选择合法的位置进入到下一层递归。另外就是预处理了一个皇后放不同位置的字符串，这样这些字符串在返回结果的时候是可以在内存中复用的，省一点内存。
代码 #
package leetcode
// 解法一 DFS
func solveNQueens(n int) [][]string {
col, dia1, dia2, row, res := make([]bool, n), make([]bool, 2*n-1), make([]bool, 2*n-1), []int{}, [][]string{}
putQueen(n, 0, &col, &dia1, &dia2, &row, &res)
return res
}
// 尝试在一个n皇后问题中, 摆放第index行的皇后位置
func putQueen(n, index int, col, dia1, dia2 *[]bool, row *[]int, res *[][]string) {
if index == n {
*res = append(*res, generateBoard(n, row))
return
}
for i := 0; i < n; i++ {
// 尝试将第index行的皇后摆放在第i列
if !(*col)[i] && !(*dia1)[index+i] && !(*dia2)[index-i+n-1] {
*row = append(*row, i)
(*col)[i] = true
(*dia1)[index+i] = true
(*dia2)[index-i+n-1] = true
putQueen(n, index+1, col, dia1, dia2, row, res)
(*col)[i] = false
(*dia1)[index+i] = false
(*dia2)[index-i+n-1] = false
*row = (*row)[:len(*row)-1]
}
}
return
}
func generateBoard(n int, row *[]int) []string {
board := []string{}
res := ""
for i := 0; i < n; i++ {
res += "."
}
for i := 0; i < n; i++ {
board = append(board, res)
}
for i := 0; i < n; i++ {
tmp := []byte(board[i])
tmp[(*row)[i]] = 'Q'
board[i] = string(tmp)
}
return board
}
// 解法二 二进制操作法 Signed-off-by: Hanlin Shi shihanlin9@gmail.com
func solveNQueens2(n int) (res [][]string) {
placements := make([]string, n)
for i := range placements {
buf := make([]byte, n)
for j := range placements {
if i == j {
buf[j] = 'Q'
} else {
buf[j] = '.'
}
}
placements[i] = string(buf)
}
var construct func(prev []int)
construct = func(prev []int) {
if len(prev) == n {
plan := make([]string, n)
for i := 0; i < n; i++ {
plan[i] = placements[prev[i]]
}
res = append(res, plan)
return
}
occupied := 0
for i := range prev {
dist := len(prev) - i
bit := 1 << prev[i]
occupied |= bit | bit<<dist | bit>>dist
}
prev = append(prev, -1)
for i := 0; i < n; i++ {
if (occupied>>i)&1 != 0 {
continue
}
prev[len(prev)-1] = i
construct(prev)
}
}
construct(make([]int, 0, n))
return
}