509. Fibonacci Number #
题目 #
The Fibonacci numbers, commonly denoted F(n) form a sequence, called the Fibonacci sequence, such that each number is the sum of the two preceding ones, starting from 0 and 1. That is,
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), for N > 1.
Given N, calculate F(N).
Example 1:
Input: 2
Output: 1
Explanation: F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.
Example 2:
Input: 3
Output: 2
Explanation: F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2.
Example 3:
Input: 4
Output: 3
Explanation: F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.
Note:
0 ≤ N ≤ 30.
题目大意 #
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
给定 N，计算 F(N)。
提示：0 ≤ N ≤ 30
解题思路 #
- 求斐波那契数列
- 这一题解法很多，大的分类是四种，递归，记忆化搜索(dp)，矩阵快速幂，通项公式。其中记忆化搜索可以写 3 种方法，自底向上的，自顶向下的，优化空间复杂度版的。通项公式方法实质是求 a^b 这个还可以用快速幂优化时间复杂度到 O(log n) 。
代码 #
package leetcode
import "math"
// 解法一 递归法 时间复杂度 O(2^n)，空间复杂度 O(n)
func fib(N int) int {
if N <= 1 {
return N
}
return fib(N-1) + fib(N-2)
}
// 解法二 自底向上的记忆化搜索 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)
func fib1(N int) int {
if N <= 1 {
return N
}
cache := map[int]int{0: 0, 1: 1}
for i := 2; i <= N; i++ {
cache[i] = cache[i-1] + cache[i-2]
}
return cache[N]
}
// 解法三 自顶向下的记忆化搜索 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)
func fib2(N int) int {
if N <= 1 {
return N
}
return memoize(N, map[int]int{0: 0, 1: 1})
}
func memoize(N int, cache map[int]int) int {
if _, ok := cache[N]; ok {
return cache[N]
}
cache[N] = memoize(N-1, cache) + memoize(N-2, cache)
return memoize(N, cache)
}
// 解法四 优化版的 dp，节约内存空间 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)
func fib3(N int) int {
if N <= 1 {
return N
}
if N == 2 {
return 1
}
current, prev1, prev2 := 0, 1, 1
for i := 3; i <= N; i++ {
current = prev1 + prev2
prev2 = prev1
prev1 = current
}
return current
}
// 解法五 矩阵快速幂 时间复杂度 O(log n)，空间复杂度 O(log n)
// | 1 1 | ^ n = | F(n+1) F(n) |
// | 1 0 | | F(n) F(n-1) |
func fib4(N int) int {
if N <= 1 {
return N
}
var A = [2][2]int{
{1, 1},
{1, 0},
}
A = matrixPower(A, N-1)
return A[0][0]
}
func matrixPower(A [2][2]int, N int) [2][2]int {
if N <= 1 {
return A
}
A = matrixPower(A, N/2)
A = multiply(A, A)
var B = [2][2]int{
{1, 1},
{1, 0},
}
if N%2 != 0 {
A = multiply(A, B)
}
return A
}
func multiply(A [2][2]int, B [2][2]int) [2][2]int {
x := A[0][0]*B[0][0] + A[0][1]*B[1][0]
y := A[0][0]*B[0][1] + A[0][1]*B[1][1]
z := A[1][0]*B[0][0] + A[1][1]*B[1][0]
w := A[1][0]*B[0][1] + A[1][1]*B[1][1]
A[0][0] = x
A[0][1] = y
A[1][0] = z
A[1][1] = w
return A
}
// 解法六 公式法 f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -[(1-√5)/2]^n}，用 时间复杂度在 O(log n) 和 O(n) 之间，空间复杂度 O(1)
// 经过实际测试，会发现 pow() 系统函数比快速幂慢，说明 pow() 比 O(log n) 慢
// 斐波那契数列是一个自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当 n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近 0.618）。
// 斐波那契数列用计算机计算的时候可以直接用四舍五入函数 Round 来计算。
func fib5(N int) int {
var goldenRatio float64 = float64((1 + math.Sqrt(5)) / 2)
return int(math.Round(math.Pow(goldenRatio, float64(N)) / math.Sqrt(5)))
}
// 解法七 协程版，但是时间特别慢，不推荐，放在这里只是告诉大家，写 LeetCode 算法题的时候，启动 goroutine 特别慢
func fib6(N int) int {
return <-fibb(N)
}
func fibb(n int) <- chan int {
result := make(chan int)
go func() {
defer close(result)
if n <= 1 {
result <- n
return
}
result <- <-fibb(n-1) + <-fibb(n-2)
}()
return result
}