0509. Fibonacci Number

509. Fibonacci Number #

题目 #

The Fibonacci numbers, commonly denoted F(n) form a sequence, called the Fibonacci sequence, such that each number is the sum of the two preceding ones, starting from 0 and 1. That is,

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), for N > 1.

Given N, calculate F(N).

Example 1:

Input: 2
Output: 1
Explanation: F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.

Example 2:

Input: 3
Output: 2
Explanation: F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2.

Example 3:

Input: 4
Output: 3
Explanation: F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.

Note:

0 ≤ N ≤ 30.

题目大意 #

斐波那契数,通常用 F(n) 表示,形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是:

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

给定 N,计算 F(N)。

提示:0 ≤ N ≤ 30

解题思路 #

  • 求斐波那契数列
  • 这一题解法很多,大的分类是四种,递归,记忆化搜索(dp),矩阵快速幂,通项公式。其中记忆化搜索可以写 3 种方法,自底向上的,自顶向下的,优化空间复杂度版的。通项公式方法实质是求 a^b 这个还可以用快速幂优化时间复杂度到 O(log n) 。

代码 #


package leetcode

import "math"

// 解法一 递归法 时间复杂度 O(2^n),空间复杂度 O(n)
func fib(N int) int {
	if N <= 1 {
		return N
	}
	return fib(N-1) + fib(N-2)
}

// 解法二 自底向上的记忆化搜索 时间复杂度 O(n),空间复杂度 O(n)
func fib1(N int) int {
	if N <= 1 {
		return N
	}
	cache := map[int]int{0: 0, 1: 1}
	for i := 2; i <= N; i++ {
		cache[i] = cache[i-1] + cache[i-2]
	}
	return cache[N]
}

// 解法三 自顶向下的记忆化搜索 时间复杂度 O(n),空间复杂度 O(n)
func fib2(N int) int {
	if N <= 1 {
		return N
	}
	return memoize(N, map[int]int{0: 0, 1: 1})
}

func memoize(N int, cache map[int]int) int {
	if _, ok := cache[N]; ok {
		return cache[N]
	}
	cache[N] = memoize(N-1, cache) + memoize(N-2, cache)
	return memoize(N, cache)
}

// 解法四 优化版的 dp,节约内存空间 时间复杂度 O(n),空间复杂度 O(1)
func fib3(N int) int {
	if N <= 1 {
		return N
	}
	if N == 2 {
		return 1
	}
	current, prev1, prev2 := 0, 1, 1
	for i := 3; i <= N; i++ {
		current = prev1 + prev2
		prev2 = prev1
		prev1 = current
	}
	return current
}

// 解法五 矩阵快速幂 时间复杂度 O(log n),空间复杂度 O(log n)
// | 1 1 | ^ n   = | F(n+1) F(n)   |
// | 1 0 |		   | F(n)	F(n-1) |
func fib4(N int) int {
	if N <= 1 {
		return N
	}
	var A = [2][2]int{
		{1, 1},
		{1, 0},
	}
	A = matrixPower(A, N-1)
	return A[0][0]
}

func matrixPower(A [2][2]int, N int) [2][2]int {
	if N <= 1 {
		return A
	}
	A = matrixPower(A, N/2)
	A = multiply(A, A)

	var B = [2][2]int{
		{1, 1},
		{1, 0},
	}
	if N%2 != 0 {
		A = multiply(A, B)
	}

	return A
}

func multiply(A [2][2]int, B [2][2]int) [2][2]int {
	x := A[0][0]*B[0][0] + A[0][1]*B[1][0]
	y := A[0][0]*B[0][1] + A[0][1]*B[1][1]
	z := A[1][0]*B[0][0] + A[1][1]*B[1][0]
	w := A[1][0]*B[0][1] + A[1][1]*B[1][1]
	A[0][0] = x
	A[0][1] = y
	A[1][0] = z
	A[1][1] = w
	return A
}

// 解法六 公式法 f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -[(1-√5)/2]^n},用 时间复杂度在 O(log n) 和 O(n) 之间,空间复杂度 O(1)
// 经过实际测试,会发现 pow() 系统函数比快速幂慢,说明 pow() 比 O(log n) 慢
// 斐波那契数列是一个自然数的数列,通项公式却是用无理数来表达的。而且当 n 趋向于无穷大时,前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 0.618(或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近 0.618)。
// 斐波那契数列用计算机计算的时候可以直接用四舍五入函数 Round 来计算。
func fib5(N int) int {
	var goldenRatio float64 = float64((1 + math.Sqrt(5)) / 2)
	return int(math.Round(math.Pow(goldenRatio, float64(N)) / math.Sqrt(5)))
}


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